一道课本例题的教学应用

课本例题和习题具有一定的示范性，我们不能简单地一解了之。下面以普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》选修4-5的一道例题为例，谈谈如何进行深入的探究，对开发学生的智力、培养良好的思维品质的作用。

一、题目  

北师大版数学选修教材4-5数学归纳法一节例3，用数学归纳法证明： ≥ （＞，为正整数）．

二、思考

本题作为选修教材中的内容，学生经过两年多的学习，其数学基础知识比较丰富，基本技能比较扎实，可以从多角度思考，尤其遇到与正整数有关的命题，除了数学归纳法之外，还会向函数、不等式、数列等多方面思考。本题题干中要求用数学归纳法证明本身就局限了学生的思维，能否将“用数学归纳法”这六个字删去，更能起到发展学生数学思维能力的作用。

三、在教师的启发下，学生给出的几种证明方法

证法1：数学归纳法

（1）当n=1时，不等式明显成立。

（2）假设n=k时，命题成立，即（1+≥1+kx，

那么当n=k+1时，因为x>-1, x+1>0

由假设（1+≥1+kx，得

（1+=（1+（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+k

因为k≥0，所以1+（k+1）x+k≥1+（k+1）x

所以（1+≥1+（k+1）x

即n=k+1时命题成立，

由（1）（2）知命题成立

证法2：多元均值不等式

当<0时，原式显然成立，当>0时，

1+x=≥

证法3：运用数列解决问题

不等式两端都含有自然数n，如果集中到一端可使问题简化.

据题设x>-1, x+1>0，当n.>1时，原题可转化为<1,令=，又=1，故只需证明此数列为一单调递减数列即可。

-=-=-<0

故<1恒成立，原命题得证

证法4：导数法

当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，

令f(x)= -nx-1，则f'(x)=n(1+x) -n

显然，当x>0时f'(x)>0，当-1<x<0时，f '(x)<0

故f(x)在 x=0处取得极小值，且f(0)=0

故对于所有的x>-1且x不为0，均有 f(x)>0

即 >1+nx

原命题得证

四、命题的推广：

指数n如果不是正整数时，会有怎样的结论？

推广1、（1+x）≤1+（＞，为正整数）．

   证明：因为x>-1, x+1>0，所以

1+==≥

     推广2、（1+x）>1-nx

证明：（1+x）=（）=（）=[1+(-)]>1+n(-)

                     =1+n[]=1+n(-x+)>1-nx,

推广3、（1+x）>>1-

证明略。

总之，在中学数学教学中，例题教学占有相当重要的地位，研究例题不仅可以加深学生对概念、定理等基础知识的理解和掌握，更重要的是可以开发学生的智力，培养和提高学生解决问题的能力，从而促进学生数学素养的提高。因此，只有充分挖掘例题的内涵，拓展其外延，才能有效地促进学生的数学能力的提高。