数学教育的悠悠情节-罗增儒教授访谈二三事

2020-08-02

数学教育的悠悠情结

——罗增儒教授访谈二三事

袁芹芹(陕西省西安市第一中学)尚向阳(陕西省周至县第一中学)

摘要访谈首先介绍了罗增儒教授走向数学教育的励志故事,分享了罗增儒教授初为人师时的起步工作和成长经验。然后分析了当前教学中的一些困惑现象:怎么看没有什么毛病的公开课?为什么学生上课听懂了考试不会做?最后,就数学核心素养的课堂落实谈了三点看法。

关键词教育缘分,教学案例,数学素养,课堂落实

0   数学教育的悠悠情结

今年(2020),恰逢罗增儒教授退休十周年。正如先生不久前所说:“十年来‘闲人多忙事’令我退休被‘休退’,一直滞留在杏坛敲敲边鼓,跑了二十多个省区,作了数百场报告,发有百余篇文章。走出去,才知道有跟踪书文几十年的老读者,又结识了数学教育新生代的新青年。”有教授发在朋友圈上的小诗为记:

十年休退眨眼间,忙事偏凑老来闲;

课讲西东南北地,程行冬夏秋春天。

方知铁粉跨世纪,又识新秀接前贤;

文章见笑曾百发,杏坛边鼓尚流连。

这些诗文体现了数学教育老前辈的悠悠情结,我们两位也恰好对应着文中所说的老学生(袁芹芹)和新结识(尚向阳)。

2020年1月,在先生75岁生日当天,我们来到了先生的家里,相谈甚欢,还目睹了笔者之一(袁芹芹)的当年作业、实习周报(1991年笔者毕业实习在陕西师范大学附属中学,指导教师就是罗增儒老师)、硕士论文等……这些珍贵的资料由罗老师珍藏了二三十年,实在令人感动不已。IMG_0881.JPGIMG_0880.JPGIMG_0878.JPGIMG_0879.JPG

一席寻常话,纵横几十年,交谈中不知不觉说到了先生的数学教育往事,我们教学中的一些困惑,以及当前的热点话题——数学核心素养的课堂落实。我们感到从先生那里收益良多,特整理为访谈二三事,与同行们分享。

1   数学教育的缘分

社会上曾经流传“从矿山工人到中学教师,再到大学教授、博士导师的罗增儒道路”,还有说“他是上帝派来搞数学教育的”,而罗老师却说自己从事数学教育是“半路出家”“至今仍一知半解”。不过,罗老师坦承:“确实有数学教育的缘分,每当人生的关键时刻总有一种力量引导我走向数学、深入数学教育。”他还说过“从五岁孩童开始当学生‘被数学教学’,到古稀之年‘还进行数学教学’,我人生最浓重而清晰的主线‘非数学教学莫属’。”请看几个罗老师早年的小故事。

1.1   数学教育缘分的故事

故事1:国家还面临经济困难的1962年,全国高校招生规模是十万人。罗老师填报的高考志愿顺序是,第一物理专业(上海交大),第二化学专业(华南工学院——现在的华南理工大学),第三数学专业(中山大学)。交表的前一天下午遇见一位中学学长(因国家经济困难、大学停课留在家里)问及高考志愿,学长指出院校的顺序不对,华南工学院录不上中山大学就更录不上了。于是临时贴纸条,交换了第二、第三志愿,考上中山大学数学力学系数学专业(五年制)。罗老师说,“可能是上天派学长来启示我学数学,日后从事数学教育,否则,我肯定是学化学,成为理工男了。”

故事2:由于下连队“当兵”、下乡搞“四清运动”和进行“文化大革命”,罗老师的大学既没有修完全部课程、也没有在1967年按时毕业,到1968年才分配到陕西耀县水泥厂,具体工作是在矿山开采石灰石,一干就是十年。加上在校时搞运动的时间,计来已有十多年没有接触数学了,当时,罗老师也不知道以后还会不会接触到数学。可是,打倒“四人帮”的历史事件改写了很多人和很多事的历史,由于高考招生大学急需教师,西安交通大学愿为罗老师提供专业对口的教学岗位,只是他们一次又一次的发函与来人,都遭到了水泥厂人事部门的婉拒,1978年罗老师从矿山被转到了子弟学校,开始从事数学教学(当时是九年一贯制,教七年级)。罗老师说,这一切都是缘分:“如果没有学长在最后半天的点化,我可能不会搞数学;如果没有文化大革命,我可能不会搞中学数学;如果不是打倒‘四人帮’,我还会是水泥厂的矿山开采工;如果水泥厂人事部门同意调西安交通大学,我肯定是搞高等数学了。”

故事3:回到数学本行了,罗老师说:“位卑未敢忘优国,当我回到数学岗位的时候,有一个坚定的信念,那就是追回消逝的岁月,补回十年的欠债,我夜以继日地做了五件工作。”这五件工作是:(1)反复阅读课本(从省编教材到统编教材),逐一推敲每一概念的本质含义,内在理解各个章节间的纵横联系。(2)独立演算各册课本的例题、习题,并反思解题过程。(罗老师阅读和演算的是九年一贯制的七、八、九年级课本)(3)系统演算历年高考试题和国内外数学竞赛题。(课本题做完了,做高考题和竞赛题)(4)将数学教学的全过程设计为六张教学表,并严格执行。(这六张教学表给我们留有深刻的印象,它们分别是教学日进表、全章安排表、课堂安排表、全章小结表、试题分析表、习题处理表。当中,“教学日进表”在假期就排好了下一学期的120节课;“全章安排表”有“知识系统图”——相当于现在说的思维概念图;“课堂安排表”背后有15至18页的详细讲稿,上课可以不带课前不能不写,上完课后加以整理就是一篇文章——因而罗老师能经常给全国刊物一周投一稿,进行地毯式覆盖)(5)订阅了自己所知道的中学数学报刊(主要有30多家,最多订到60多份),认真学习后,将文章做成小卡片,广泛吸收全国同行的教学经验、数学认识。(在罗老师那里,订阅的报刊既是学习数学教学的课堂也是发表教研文章的园地)应该说,罗老师当年的这些努力“不是全都劳而无功,在秋天的园子里,还开出了几朵迟暮的花。”罗老师说:“两三年的时间,我很快就适应了各个年级的教学工作,实现了从矿山职工到数学教师的角色转换。”“从教两年后(1980年)开始发表文章,后来还做到一年能有十几篇乃至几十篇文章发表(文章覆盖了所订阅的几十家报刊),体现了教学与教研的双兼顾。诸如解题坐标系的构想、数学观点的教学等认识,都萌芽于这段时间。”罗老师说:“我的文章来源于教案编写、课堂感受、作业记录,来源于刊物的学习、消化和思考,它们得以发表不是由于水平而是出于鼓励,是几十家刊物鼓励作者继续深入数学教研。”罗老师说“这可以理解为数学教育的缘分”。

故事4:我们很好奇,罗老师又要上课、又要学习、又要写文章,“时间从哪里来?”因此专门问了问他。罗老师说,解决“负担重、时间缺”的问题,主要应该抓好两条:第一、把教学与研究结合起来;第二、科学安排时间。罗老师解释说,如果你认识到教学本身就是一个创造的天地,就是一个研究的课题,就是一个写作的园地,那么,每节教案你都可以作为小论文来写作,每本作业你都可以作为原始数据来处理,你就能钻研教材不忘为课程论作出贡献,上课也就变成了你讲授艺术展示的舞台。如此等等,一个个教学任务就变成了教师成熟、成才的一级级阶梯。在罗老师那里“备课也是写作,改作业也是研究,教案亦是文章。”罗老师说,“利用零碎时间积累素材和卡片,利用星期天备好一周的课,利用一个晚上写一千几百字的短文,利用假期写长文,这就是我教中学时的一点经验。”多有资料显示,罗老师在散步和坐车时解难题、改作业、读报刊,在候机厅或飞机上编试卷、拟讲稿、写小诗。罗老师建议“缺时间”的同行可以写上两周“工作记录”小纸条,每半小时记一次干了什么,然后回过头来分析“记录”小纸条就会发现,有的时间是白白浪费的,有的消耗是可以避免的,有些安排是可以合并的……总之,一天写上一千几百字的时间是有的。罗老师强调,“时间是有限的,教师的研究工作搞得越深入,业务水平越高,备课的效率就越高,教学效果就越好,从而腾出来的时间就越多,这是一个良性循环。记得,我教中学最忙的时候,曾带高一、高二(高中两年制)、补习班,另兼电视大学的辅导,一年下来还能登稿十几次或几十次。这说明,困难是真实的,但不能把我们压垮。”也许是因为有点成绩,罗老师说:“我在教了八年中学之后,又调到陕西师范大学(1986年正式到陕师大上班)。虽然,工作的性质有了点变化,但与中学数学已经结下了不解之缘。我在师范大学的工作就是研究中学数学,并教我们的学生毕业之后怎样去教中学数学。”我们想给罗老师补充一句:退休之后还研究中学数学,并培训教师怎样去教好中学数学。

1.2   初为人师的经验体会

罗老师由矿山职工(1968年)转身为数学教师(1978年),由中学教师成长为大学教授(1996年)、博士导师(2001年),曾两次获国家级优秀教学成果奖(1993年二等奖、2009年一等奖),四次获省级优秀教学成果奖(1989年、1993年、1995年、2003年),出版书作10余本(套),从中国知网能查到500多篇文章(被中国人民大学复印资料全文转载60余次),曾为全国数学竞赛(初中、高中、冬令营)命制过21道正式试题,有过连续10年高考命题的经历,是我国首批数学竞赛高级教练(1989年),首批教育部“国培”专家(2011年),1994年起就享受国务院政府特殊津贴,他关于数学教学论、数学解题论、数学竞赛论的著作,影响着一代又一代的数学人。虽然已经事业有成,可他至今仍坚持学习,笔耕不辍。我们觉得罗老师的成长很有榜样意义,专门请他谈谈成长的经验。罗老师强调的是“勤奋得法”,说了他初为人师时的五点体会,可供大家(特别是年轻教师)参考:(1)从教书匠的基本功扎实做起。(如钻研教材和练习,钻研教案和板书,占领高考与竞赛两个学科专业平台等)(2)攀登学科与教学的两个专业制高点。(如钻研高考题和竞赛题,钻研教学艺术等)(3)争取教学与研究的双重跨越。(如把教学与研究结合起来,勤于写作等)(4)高起点学习全国名牌教师。罗老师回忆说,因为我没有时间像大学刚毕业的小青年那样去从容熟悉讲台,所以,我必须一开始就像“刊物上的老师”那样当老师、教数学。这些“刊物上的老师”也就成了我初为人师时模仿的对象和努力的目标。(5)订阅专业报刊,并开放性学习:边阅读、边钻研、边写作。

罗老师说这五点体会很基本,但教育家是从教书匠起步的,从矿山职工到博士导师,这是一根拐棍、一座引桥。它说明,教师可以从基本功抓起,通过占领教学制高点来促进专业发展(数学教师应有数学解题、教学艺术、教育管理三个专业制高点)。罗老师建议老师们从“五点体会”起步,关键是要努力去做,不等待、不抱怨,享受工作、永不言胜(不是永不言败)! 今天网络发达,教育信息技术现代化,教育资源极其丰富,与上世纪七八十年代不可同日而语,我们许多老师的起点比当年的罗老师高、环境比当年的罗老师好。只要我们做教育的有心人,刻苦努力,坚持奋进,静心教书,潜心育人,爱岗敬业,扎实奉献,定能收获满满,成为优秀的人民教师——这是我们的心愿也是罗老师的新年祝福。

2   教学案例的交流

三句不离本行,交谈中自然会提起日常教学中的许多问题(尤其是困惑和热点),其中有两个案例记忆尤为深刻:怎么看没有什么毛病的公开课?为什么学生上课听懂了考试不会做?请看罗老师的见解。

2.1   案例1:没有什么毛病的公开课本身也是一种毛病

我们谈到新课改以来的一种新气象,就是公开课、示范课、“同课异构”遍地开花,它对于教研繁荣和教师专业发展都有积极的促进作用,但是也出现了一种倾向,就是“表演性”越来越强:花上一两周时间的反复打磨,几乎教研组全体参与,多媒体现代技术的华丽包装,借班上课,等等。听这样的课你看不到什么毛病,但总觉得不够真实、不切实际、“中看不中用”。

罗老师谈了三点看法。

(1) 教学有表演性但不是演戏。

罗老师说,首先,应该承认教学艺术的表演性,教师也是像演员一样,通过知识内容、语言动作、姿态情感等去获得教学效果的,而且这种表演也受到时空的限制,呈现出即时性的特征。这种即时性使得教学情境瞬息万变而又多姿多彩,也使得认真的教师每节课下来都不无遗憾,我们曾经断言,教学的艺术是一种遗憾的艺术。其次,教学艺术的表演性将协调运用语言、教具、动作与表情,并多方借鉴音乐、绘画、诗歌、演讲等技巧,表现出教学语言符号的音乐美,教学图象信息的图画美,教师仪表姿势的教养美,课堂教学组织的条理美,处理突发事件的奇异美,等等。当中,仅仅是“语言的艺术”“幽默的艺术”“悬念的艺术”以及教学中的“点拨与启发”等,每一个话题都足以写出一本畅销书。但是,罗老师强调,教学艺术的表演性不同于演戏。当教师创设一个情境、引发认知冲突、提出相应问题时,教师是知道答案的,却又以不知道答案的口吻提问:“对于这个问题,我们怎么办呢?”其目的是调动学生的思维,并表达我们一起来解决的意愿,这里的“调动思维”和“表达意愿”都是真实的(不是虚假的)。相反,若“公开课”只是背诵“台词”,甚至提前安排学生给出正确或错误的发言,然后圆满解决,那是演戏而不是教学。教学艺术的表演性与演戏的主要区别在于真实,在于切合真实的课堂,在于学生获得真实的提高。“借班上课”是半真实半演戏,表演多于上课,在一个班里“被借来的学生”很大程度上是在配合老师,而“未被借到的学生”则常常留有消极的感受,不到万不得已还是要避免“借班上课”并尽量保持原有的进度。至于调动教研组共同参与,以及反复打磨、技术包装等,则应具体分析、区别对待,有些课只能算“半真半假”,“真”是指它确实在上课,也确实有认真的态度和共同提高的积极意义,还有体现“最高水平”的样板价值。“假”是指它并非常态课,也并非授课教师的真实表现,平常教学还很难做到“备一节课花上一两周时间”,能够肯定的主要是认真的精神。

(2)“没有看出来”不等于“没有”。

罗老师说,经过长时间集体打磨的公开课、示范课,教师任性随意的低级错误会被提前避免,这是肯定的。但是,体现全教研组集体“最高水平”的课并不等于十全十美的课(十全十美的课存在吗?教学用得着一句广告词“没有最好,只有更好”),没有看出毛病不等于没有毛病,不等于不可以“百尺竿头更进一步”。这些年我听过几百节课,有教育部的“东芝杯”大学生比赛课,有高中、初中、小学的“同课异构”课,有高级、特级、正高级的名师创新课,还有技巧高手的解题比赛课,确实特色突出,收获满满,但是并非无话可说,细节上的充实自不待言(可参见罗老师在杂志上的评课文章),宏观结构上的改进也有事可做,说两个情况。

情况1:在课堂上,我们常常看到这样一种典型的教学方式(从小学到高中),首先创设问题情境、激发学习兴趣、引出本节课题。然后,把提出的问题暂时搁下,重新对学生进行启发引导,直到概括形成新知识(概念、定理、法则等)、并进行了解题过程的示范之后,才让学生作为“前后照应”解决开课提出的问题。这种教学,教师注重“创设问题情境”值得肯定,当提出的问题较深奥、学生无从下手时,“先退后进”、重新对学生进行启发引导也有必要。然而,并非所有问题学生都无从下手,相当一部分课题(并非全部)教师不妨将解决问题的任务直接交给学生(问题驱动教学),让他们面对新情境、新挑战,探索交流,在问题解决的过程中,概括提炼出概念、定理、法则来。千篇一律地默认“学生只有接受了新知识之后,才能解决相应问题”的做法,是没有给学生独立思考和真实探索的机会,也没有真正引发出学生的认知冲突,学生受到的主要是操作性的常规训练,它的一个可能后果是:学生面对新问题时只会等待或逃避。

情况2:我们看到,注重“创设现实情境”已经成为教学常态,它能体现生活中充满“数学的原型和广泛的应用”。比如,高中教学中,由“猜价格”情境引出“二分法”,由“立旗杆”情境引出线面垂直的概念和判别定理;初中、小学教学中,由“高速路”情境引出直线概念和直线公理(两点决定一条直线)。但是,怎样由“猜价格”提炼出函数及其在解方程中的应用,怎样由“立旗杆”概括出“直线与平面内的任意一条直线都垂直”,却缺少具体的过程;还有,呈现了一个“高速路”的画面就立即得出一条“直线”。这些表现都缺少一个“去情境化”、也就是“数学化”的关键步骤。弗赖登塔尔说,与其说学习数学,不如说学习数学化。但是,“猜价格”里有函数吗?“立旗杆”里有“直线与平面内的任意一条直线都垂直”吗?罗老师说,有!只是教师没有去做提炼工作。一条高速路,当你着眼于距离时能提炼出线段,当你着眼于笔直延伸、从而将高速路呈现为高空看地面的地图时,高速路收缩为一条线,没有宽度、很直很直,提炼为直线;当你着眼于面积时,高速路能提炼出矩形(站在高速路上也更容易感受到矩形);当你着眼于用料时,高速路能提炼出长方体。我们说,生活世界有自身不可克服的局限,它不可能给我们提供太多的理性承诺,学校教育恰恰应该着眼于社会生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验。情境还不是数学,没有提炼的过程,学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学,也可能是借学生的“嘴”代替教师的“灌”。罗老师强调,在数学教学生活化取向、活动化取向的大潮中,教师的数学化能力凸现,这是一个创作、创造和创新的过程,数学教师要有“先情境化、再去情境化”的自觉意识,数学教学要有“数学化”的专业能力。(3)没有什么毛病的课本身也是一种毛病。确实有这样的课堂,从创设情境开始,教学有问题驱动、有师生互动,有条理地顺利展开;完整的教学环节紧凑而流畅、转换也自然;并且教师的讲授滴水不漏、学生的发言完全正确、师生活动的最后一句小结“话音刚落”,下课的铃声精准响起,会场上也跟进有自发的掌声,这就是“没有什么毛病的课”。罗老师说,我深入到学生座位的课堂观察表明,这些“没有什么毛病的课”,有的是严密的设计掩盖着更深层次的问题(一串串的问题都是老师提的、学生没有提出任何问题),有的是流畅的过程限制了师生的思维暴露(或者说“以教定学”代替“以学定教,“预设”重于“生成”),有的是优生的发言代替了全班的真实声音(座位巡视能看到部分学生的不正确或不严密)。所以,“没有毛病”其实是没有低级错误(诸如“2+3=6”之类),或看不出毛病(水平不够)。

2.2   案例2:学生上课听懂了考试不会做

我们还向罗老师谈到了一个困惑多年的教学现象,就是学生上课听懂了,可作业有困难、考试不会做,特别是一些中下水平的学生尤其明显。我们问罗老师怎么看、怎么办?罗老师认为这种现象由来已久,原因可能是多方面的(涉及教也涉及学),应该做实证研究、综合治理,但作为教师,主要应从教的方面反思。他作了一个开车的比喻,说学生在课堂上听懂了就相当于使用导航开车(有时还有师傅坐在副驾驶的位置上看着),从起点到终点步步都有正确路线的指导,每到十字路口都有左拐、右拐或直行的提示,所以都能很顺利到达终点。而回家做作业,虽然线路和终点差异不是很大,但已是自己独立开车了,没有导航了,走直路可能还问题不大,到十字路口可就有判断“左拐、右拐或直行”的困难了;到了考试,困难就更大了,不但没有导航,而且线路和终点全都要自己选择,有些同学就“考试不会做”了。罗老师认为,解决问题的办法之一是:平时就要锻炼“无导航开车”,提高数学素养,并具体分析了两种情况。

情况1:有这样的教学方式,教师创设问题情境,板书本节课题,学生很明确这节课要学什么概念、学什么定理。然后,一个个大标题、小标题地展开探究,虽然各个环节都有师生互动、学生活动,但这些“动”都有“本节课题”的明确范围、都有“大小标题”的具体提示,解决问题需要用到哪些概念、需要提取哪些定理、需要进行哪些运算,学生比较容易想到(必要时还有教师启发),所以感觉课都听懂了。在这里,“课题”的明确范围、“标题”的具体提示,以及教师的问题设计和有效启发就是“导航”。到了考试,解题需要用到哪些概念、哪些定理、哪些运算,既没有提示也没有范围,就是“无导航开车”了,困难就来了。可以看一个简单的例子:勾股定理的教学。教师请学生测量两块直角三角板的三边长度,并将各边的长度填入下表:(比如,三边长分别为3、4、5与5、12、13),根据已经得到的数据,请猜想三边的长度之间的关系。

   这里说的“关系”应该是“等量关系”(否则由3+4>5和5+12>13猜想a+b>c就是一个现成的答案了),至少会有两个开放性的探究:首先探究三个具体数字之间的等量关系;然后由三个具体数字的等量关系归纳出三个抽象字母的等量关系。如果不是预知答案,让学生独立想到找平方关系是不容易的,并且,如果有学生想到将边长平方,那么,由3的平方也可能会看到3*3=4+5而不只是看到3*3+4*4=5*5(前者运算比后者简单),也可能会由5的平方看到5*5=12+13而较难看到5*5+12*12=13*13,从而猜想a*a=b+c(这对无数个满足c-b=1的直角三角形成立);还可能有学生由3的平方得到3*3=2*4+1(或3*3=2*5-1),由5的平方得到5*5=2*12+1(或5*5=2*13-1),从而猜想a*a=2*b+1(或a*a=2*c-1)。然而,课堂上风平浪静,没有出现a*a=b+c或a*a=2*b+1等情况,学生确实一找就找到了3*3+4*4=5*5,5*5+12*12=13*13,从而获得a*a+b*b=c*c,教学非常顺利,其他同学一验证,确实3*3+4*4=5*5,5*5+12*12=13*13,听课确实听懂了。其实,学生“找到”的背后有“导航”:可能有的学生在课外辅导班学过,可能有的学生在课前预习了,可能有的学生临时翻书找出了定理;而“听课确实听懂了”的背后是“被导航”,是借学生的“嘴”代替教师的“灌”,被动接受和简单模仿的状况没有实质性的改变。所以,一到考试要考真实素养的时候(也就是没有导航了),关键能力的缺失就暴露了。当然,教案肯定是按“课题—大标题—小标题”的格式编写的,但课堂实施应该也必须灵活,可以有教案不曾预设的生成,也可以先有活动、然后才有作为活动结果而“画龙点睛”的“标题”,让教学也经历“无导航”开车,把“有导航”教学与“无导航”教学结合起来。

情况2:有这样的解题教学:老师说由于某个概念,所以有某个结论,学生表示认可;老师又说因为某个定理,所以还有某个结论,学生又表示认可……最后得出了完全正确的答案,学生也表示听懂了,这就是“有导航”的解题教学。确实,老师每一句话都没有科学性错误,整体结构也推理严密,但是只讲了题目“这样解”、只帮助学生获得了“答案”(如果答案为0,你的收获就是0吗?),缺乏对解题方向的思路分析和解题思想的本质提炼,叫做讲“推理”而不讲“道理”(从这一意义上说“数学老师不讲道理”了)。罗老师还举了个自己的例子,初当教师时曾经理直气壮地给学生讲“全等法”解题:“因为两个三角形全等,所以对应边相等”,说完之后就后悔了,就觉得“数学老师不讲道理”了,其实,两个三角形全等,可以推出对应边相等、也可以推出对应角相等、对应周长、对应面积等对应元素相等,不讲清楚为什么选择“对应边相等”就是“讲推理而不讲道理”。面对全等三角形的诸多性质,就像开车来到了十字路口,教师认识路,一打方向就拐弯了,而学生回家做作业,就不知道十字路口往哪拐了;到了考试时可能还要面临用不用“全等法”的选择,困难就更多了。(关于数学解题请参阅罗老师的著作《数学解题学引论》)

3   数学核心素养的课堂落实

2018年1月,《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《课标(2017)》)正式颁布,这次课程修订的突出亮点就是把学科核心素养纳入到课程标准。罗老师紧跟时代步伐,立即思考一线教师如何在课堂上落实数学核心素养的问题。罗老师首先说,数学核心素养的教学不是凭空而来的,它是中国数学教学从“知识教学”到“知能教学”、到“知能情教学”、到“数学思想教学”、再到“数学素养教学”几十年历史发展的结果;数学核心素养的教学也不是脱离知识内容的空喊,它是中国数学教育“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展”优良传统的现代发扬,数学教学完全可以通过基础知识的掌握、数学活动经验的积累,感悟“体现知识内容本质”的基本数学思想,认识“数学思想”里的DNA——数学学科核心素养,并与“立德树人”沟通。罗老师认为,基于数学核心素养的教学,要求教师把握内容的数学本质,创设合适的教学情境,提出相关的数学问题,引发学生的认知冲突,组织互动探究或主题(单元)站位的教学活动,形成“数学化”的深度学习;让学生在掌握知识技能的同时,积累数学活动经验,感悟数学思想方法,发展具有数学基本特征的思维品质、关键能力和价值观念。罗老师对数学核心素养的课堂落实谈了三点看法,他说这是他学习“课标”、学习课程专家(史宁中、王尚志、马云鹏、崔允漷等)文章的心得体会。

3.1   理解课标,明确方向,以发展数学核心素养为教学目标

罗老师认为,教师是培养数学核心素养的主体,课堂是培养数学核心素养的主渠道,如何将数学核心素养的教学融入课堂、并最终落实到学生身上,在于教师首先要吃透《课标(2017)》,吃透课标的“实施建议”,包括教学与评价建议,学业水平考试与高考命题建议等。同时,教师要将《课标(2017)》的各个建议进行更细致的文字解读、更具体的课堂操作,拿出实证的鲜活成果来。罗老师还结合“教学目标”谈了两点看法。

(1)本次普通高中课程标准修订的一个重大突破,是在整合与提升原先“三维目标”的基础上,凝练了学科核心素养(另一个重大突破是对核心素养进行了水平划分)这不仅解决了“三维目标”的割裂问题,而且实现了课程目标的科学化与具体化,体现了课程改革的时代性和国际视野,落实了中国教育“立德树人”的根本任务。这是从“知识本位”到“素养本位”的重大转变。(2019年高考有转变的体现、也有转变的震动)《课标(2017)》“教学建议”指出:数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习的过程中逐步形成的。教师在制定教学目标时:①要充分关注数学学科核心素养的达成;②要深入理解数学学科核心素养的内涵、价值、表现水平及其相互联系;③要结合特定教学任务,思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点;④要注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联;⑤要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性,研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体,在此基础上确定教学目标。罗老师认为,课标的这段话不仅强调了素养教学的大方向,而且具体指出了实现素养教学的关键要点。我们必须领会课标精神,紧紧抓住发展数学核心素养的教学目标。须知,发展数学核心素养是我们进行数学教学的出发点和归宿。

(2)本世纪新课改以来,教师写课堂教学目标大多是按照课程“三维目标”作二级分类来表述的:第一“知识与技能”①②③…;第二“过程与方法”①②③…;第三“情感、态度与价值观”①②③…,但在实际操作中不少教师存在困惑、并出现“目标虚化”。首先是,只有“知识与技能”可以说得比较清楚(是真正落实),“过程与方法”常常有困难(是努力落实),而“情感、态度与价值观”就困难更大了(常常停留在口头上);其次是,“有的内容不知道归入三维目标的哪一维”或“并不专属于那一维”;还有就是,课堂目标与课程目标分不清,常常把本节课必须一一落实的、效果表现为学生可见可测的具体目标,写成原则指导性的、需要长期努力才能落实的宏观目标(罗老师在研课中问教师是如何逐一落实“你的课堂教学目标”时,有的教师说那“只是写给人家看的”)。现在就不用把“三维目标”割裂开来书写了,可以直接依据课程标准的要求分析教材内容、凝练数学内容的本质思想,提炼出学生可以达成的、三到五条素养教学的具体目标。在书写每一条教学目标时都可以贯通三维”、一气呵成、让学生明白“从哪里来,到哪里去、怎么去、到达没有都可以说通过哪些情境或活动、进行哪些数学知识的探究、获得哪些数学思想方法的感悟、体验哪些情感态度的熏陶,从而提升哪些数学核心素养。于是,每一条目标都可以体现素养源于数学学科知识又超越数学学科知识,都可以体现知识是培养数学素养的载体、活动是培养数学素养的渠道,数学素养是学生在学习数学课程的过程中所形成的、对数学本质的深刻认识和深度把握(不只是知识懂了、技能会了、刷题出答案了,而是要学生自己悟出了道理、规律和思考方法等),它能够引领学生将习得的数学知识和技能应用到日常生活中去,帮助学生用数学的眼光发现和提出问题,用数学的思维分析和解决问題,用数学的语言表达和交流问题。是从“数学知识”(载体)到“数学思想”(桥梁)再到“数学素养”(目标)的逐层深入和逐级提升。作个粗糙的比喻,“数学知识”如同一块铁矿石(看得见、摸得着),“数学思想”是隐藏在矿石里的铁(要加以提炼才能得出来),而“数学素养”则是组成铁的元素和结构。还可以作个种地的比喻,掌握“数学知识”就是开垦出土地,揭示出数学知识背后的“数学思想”就是在土地上耕种,感悟数学思想里的(DNA)“数学素养”就是在土地上耕种获得丰收。“知识指向”的教学,就是只关注“开垦”,把“耕种”和“收获”留给学生去“自发领悟”,于是有的学生“领悟”了(甚至成为数学家),有的学生“领悟”不了(甚至留下学习数学的消极体验);现在倡导“素养指向”的教学,就是要自觉经历“开垦、耕种和收获”的全程。所以,课程目标贯彻核心素养的新形势,是对教师提出了更高的要求,教学不仅不能只停留在“传授双基、培养能力”上(但是并非放弃“沃土”和“载体”),而且也不能满足于“从知识内容及其所使用的方法”中提炼数学思想(需要深化,“数学思想”是由数学知识“载体”通往数学素养目标的“桥梁”),还要找出数学思想方法里的DNA——数学核心素养,并与立德树人沟通。学校教学要发展学生的通识核心素养,数学教学要发展学生的学科核心素养,这个观念必须树立,这个目标必须明确。

3.2 与时俱进,把数学思想方法教学深入到素养层面

新课改所倡导的教学理念经过十几年的贯彻,已经与数学学科特征有机结合,已经与数学教育的中国道路相互作用,促成中国数学教育进入“数学思想教学”的阶段,主要有四个关键词:数学现实、数学化、再创造、师生互动,即以问题情境作为课堂教学的平台,以“数学化”作为课堂教学的目标,以学生通过自己努力得到结论(或发现)作为课堂教学内容的重要构成(获得“四基”发展“四能”),以“师生互动”作为课堂学习的基本方式(以教师为主导以学生为主体)。现在的问题是与时俱进,深化到核心素养的站位——生成6个数学核心素养。

怎么深化到核心素养?罗老师强调了三点。

(1)指向数学核心素养的教学既要重视教,更要重视学,促进学生学会学习指向数学核心素养的课程实施,将带来教学方式的根本转变要求教师把教学活动的重心放在促进学生学会学习上,积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式,不仅限于讲授与练习,也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等。促进学生学会学习,要求教师加强学习方法的指导,帮助学生养成良好的数学学习习惯,敢于质疑、善于思考、理解概念、把握本质,数形结合、明晰算理,形成优化的认知结构。要努力体现“三个转变”:①由“抽象知识”转向“具体情境”,营造学习情境的真实性。②由“知识中心”转向“素养中心”,培养学生形成高于学科知识的学科核心素养。③由“教师中心”转向“学生中心”,促进学生主动学习和合作学习的意识与能力。教师要以学生学习为主线,关注学生问题生成、实践操作、思维转化、问题解决的全过程,指导并促进他们由浅入深、由表及里进行学习探索,进而形成独立思考、实践和学习的能力,但并不是做“甩手掌柜”,放手让学生自学。核心素养的培养更多地依靠学生自身在实践活动中的摸索、积累和体悟。因为学科知识只是形成学科素养的载体,学科活动才是形成学科素养的渠道。所以,老师要将核心素养目标融合到教学设计中,通过科学合理的数学教学活动,让学生在数学学习中实现自我发展、自我超越、自我升华。在数学学习的感染下,培养学生的逻辑思维,发展学生的理性精神,让学生的核心素养得到自主发展。

(2)基于情境,问题导向,经历“数学化”的提炼过程,促进数学核心素养的发展。《课标(2017)》指出:基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养。指向数学核心素养的教学要求教师将数学的“学术形态”转化为“教育形态”,将“教材内容”转化为“教学内容”,给数学加上“温度”和“情感”;要根据知识的本质先将其情境化,再让学生经历“数学化”(也就是“去情境化”)的过程,感悟知识的思想实质和核心要素;要将知识内容结构化,帮助学生理解、记忆和迁移,形成优化的认知结构。应该看到,创设问题情境的是引发认知冲突、展开深度探究活动、进行数学化的基本平台(数学建模活动与数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体),核心素养是在特定情境中表现出来的知识、能力和态度。只有通过合适的情境才有利于学生感悟、理解、形成和发展核心素养,只有通过精心设计的问题才能启发学生思考数学内容的本质。因此,在数学教学活动中,教师应结合教学任务及其蕴含的数学核心素养,设计合适的情境与问题,组织学生与情境、问题的有效互动,引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题,引导学生用数学的语言描述背景、表达问题,引导学生用数学的思维分析问题、解决问题。在问题解决的过程中,促使学生理解数学内容的本质,促进学生数学核心素养的形成和发展。②数学是在发现、提出、分析、解决问题的过程中产生和发展的,数学核心素养是在学习过程、应用过程、创新过程中逐步提升和达成的。创设合适的情境(包括实际情境、科学情境、数学情境),让学生身临问题环境,尽量感悟提出、解决问题的真实过程,这是提升数学核心素养的有效途径,也是教师创新能力的广阔空间。设计合适的教学情境、提出合适的数学问題是有挑战性的,它为教师的实践创新提供了平台。教师应不断学习、探索、研究、实践,提升自身的数学素养,了解数学知识之间、数学与生活、数学与其他学科的联系,开发出符合学生认知规律、有助于提升学生数学学科核心素养的教学模式和优秀案例。

(3)有效参与,深度探究,引发认知冲突,暴露数学思维的真实过程,聚焦数学核心素养。指向核心素养的学习需要引发认知冲突,暴露数学思维过程,组织学生的有效参与(行为参与、思维参与、情感参与),进行深度的探究。深度探究是培养数学核心素养的关键环节。认知冲突指的是当个体意识到个人认知结构与环境、或是个人认知结构内部不同成分之间的不一致所形成的状态。可以分为两种类型:主体内认知冲突主体间认知冲突。当新的认知经验与学生已有的认知系统无法包容并产生矛盾的时候,就产生了主体内的认知冲突;当学生与其他同学或者教师之间有了不一致的认知,这些不一致的认知对学生产生了一定压力,促使其调整新旧观点,以建立新的平衡时就出现了主体间的冲突。在课堂教学中,引发学生的认知冲突对学生发展核心素养有着重要的意义,它不仅可以引发学生积极的思考,激发其内在动机和探究欲望、发展其思维能力,还能促进学生深入地理解学习内容的本质。教师可以通过设计问题情境,激发学生的学习兴趣,引发学生的思考与深度探究;教师可以通过学生充分展示自己的想法、尝试去理解或质疑别人的想法,产生思维的碰撞来促成有效参与和深度学习。

3.3 主题教学是培养数学核心素养的有效途径

基于核心素养的数学教学首先要理解数学,充分把握数学内容的本质。但数学本质,很难通过一节课或一个知识点就能表述清楚。这就需要改变教学设计的思路,从一个个知识点或一个个课时的教学中跳出来,从更大范围、站在更高位置、用更一般思想进行整体教学设计,即实施主题教学(或单元教学)。这里说的主题(或单元)不是知识或内容单位,而是学习单位。实践中可以把一章内容作为主题,也可以选择跨章节的主题、进行整体教学设计和教学实施;还可以把一章的内容分解为几个小主题。容易明白,以知识点为站位,看到的目标只是了解、理解、记忆;以单元为站位,有助于学生抓住本质,看到学科育人的关键能力、必备品格与价值观念。因此,指向学科核心素养的教学需要提升教师的教学设计站位,立足单元,上接学科核心素养,下连知识点的目标与要求。例如,数列是一章内容,可看作一个主题,包括数列的概念、等差数列、等比数列、数列的应用等,可以进行整体的教学设计,统一实施教学。又如,距离问题就是一个跨章节的主题,立体几何涉及距离,解析几何、向量几何也会涉及距离,将所有距离问题及其应用作为一个主题,就比较容易感悟“最短”的含义,从而揭示距离的本质。还有,垂直是体现“最短”的概念,当把所有解决距离问题的方法放在一起,通过比较就可以分析出求解距离问题的通性通法。容易明白,“高考复习课”是进行“主题教学”的极好机会。主题教学将教学内容置于整体内容中去设计,更多地关注了学习内容的本质,是基于学生核心素养培养的教学设计模式,有利于改变教师过分关注具体知识点的倾向,对于拓展教师的教学视野及提高教学效率有重要的意义。可以认为,单元教学是撬动基于核心素养课堂转型的一个很好的支点。

罗教授的故事是一本励志的书,打开会催人奋 进,合上能发人深思。有限的访谈虽然结束了,但是 数学教育的永恒话题和无限探索还在继续。我们的 心头萦绕着比访谈前更多的关于数学教育的思考,我 们的眼前闪现着更宽广的教师发展大道。


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