一道课本例题的教学应用

2015-09-14

一道课本例题的教学应用

课本例题和习题具有一定的示范性,我们不能简单地一解了之。下面以普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》选修4-5的一道例题为例,谈谈如何进行深入的探究,对开发学生的智力、培养良好的思维品质的作用。

一、题目  

北师大版数学选修教材4-5数学归纳法一节例3,用数学归纳法证明:      为正整数).

二、思考

本题作为选修教材中的内容,学生经过两年多的学习,其数学基础知识比较丰富,基本技能比较扎实,可以从多角度思考,尤其遇到与正整数有关的命题,除了数学归纳法之外,还会向函数、不等式、数列等多方面思考。本题题干中要求用数学归纳法证明本身就局限了学生的思维,能否将“用数学归纳法”这六个字删去,更能起到发展学生数学思维能力的作用。

三、在教师的启发下,学生给出的几种证明方法

证法1:数学归纳法

(1)n=1时,不等式明显成立。

2)假设n=k时,命题成立,即(1+ ≥1+kx

那么当n=k+1时,因为x>-1, x+1>0

由假设(1+ ≥1+kx,得

(1+ =(1+ (1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+k

因为k ≥0,所以1+(k+1)x+k 1+(k+1)x

所以(1+ 1+k+1x

n=k+1时命题成立,

由(12)知命题成立

证法2:多元均值不等式

 <0时,原式显然成立,当 >0时,

1+x=

证法3运用数列解决问题

不等式两端都含有自然数n,如果集中到一端可使问题简化.

据题设x>-1, x+1>0,当n.>1时,原题可转化为 <1, = ,又 =1故只需证明此数列为一单调递减数列即可。

 - = - =- <0

 <1恒成立,原命题得证

证法4:导数法

n=1时,不等式显然成立,当n2时,

f(x)=  -nx-1,则f'(x)=n(1+x) -n

显然,当x>0f'(x)>0,当-1<x<0时,f '(x)<0

f(x)x=0处取得极小值,且f(0)=0

故对于所有的x>-1x不为0,均有 f(x)>0

 >1+nx

原命题得证

四、命题的推广:

指数n如果不是正整数时,会有怎样的结论?

推广1、(1+x 1+    为正整数).

   证明:因为x>-1, x+1>0,所以

1+ = =

     推广2、(1+x >1-nx

证明:(1+x =  =  =[1+(- )] >1+n(- )

                     =1+n[ ]=1+n(-x+ )>1-nx,

推广3、(1+x > >1-

证明略。

总之,在中学数学教学中,例题教学占有相当重要的地位,研究例题不仅可以加深学生对概念、定理等基础知识的理解和掌握,更重要的是可以开发学生的智力,培养和提高学生解决问题的能力,从而促进学生数学素养的提高。因此,只有充分挖掘例题的内涵,拓展其外延,才能有效地促进学生的数学能力的提高。

来源: